Cómo calcular las probabilidades de ganar $1.1 millones y el valor de un boleto de Mega Millions

Parece que cada boleto de $2 vale $3.60. Pero no lo es.

Premio mayor probable para el sorteo Mega Millions del 29 de julio: $ 1.1 mil millones. Probabilidades de que su boleto lo gane: un poco más de 1 en 300 millones.

Divide un número por el otro. Parece que el pago esperado de un boleto de $2 es superior a $3.60. Entonces, ¿deberías comprar un montón de ellos?

No, y este ensayo analizará la aritmética del por qué. Si es necesario, compre un boleto, por diversión. Comprar dos sería una tontería.

Hay tres razones por las que el premio mayor es demasiado escaso para darle a su boleto un rendimiento esperado positivo. La primera es que el número anunciado es engañoso. El bote se desembolsará a lo largo de 30 años. Si lo quiere todo de una vez, se reduce a $ 648 millones.

Su pago esperado ya se ha reducido a $2 y cambia, apenas mejor que un punto de equilibrio.

El siguiente problema es que podrías estar compartiendo este dinero. Hay un 35 % de posibilidades de que haya otro ganador, por lo que obtendrás solo la mitad. Hay un 40 % de posibilidades de que compartas con dos o más ganadores.

El riesgo de tener que compartir reduce el valor del premio mayor a $1.17.

El último corte de pelo es para los impuestos. La tasa federal sobre una gran ganancia inesperada es del 37%. La tasa estatal y local puede variar desde el 0 % (como en Texas) hasta el 14.8 % (en la ciudad de Nueva York). La siguiente tabla de pagos asume un golpe estatal y local del 5%.

Con un impuesto combinado del 42%, su pago esperado del premio mayor se reduce a 68 centavos. Los premios más pequeños valen algo, pero no lo suficiente como para impulsar el valor de un billete de lotería por encima de un dólar.

Hay un grupo selecto de jugadores de lotería a los que les va un poco mejor porque su toma de los pagos más pequeños está exenta de impuestos. Ese grupo son personas ricas y estúpidas. Lo explicaré más tarde.

El juego Mega Millions consiste en elegir cinco números diferentes en el rango de 1 a 70 y un número Mega en el rango de 1 a 25. Los primeros cinco son como una mano de póquer y su orden no importa. El número Mega puede ser el mismo que uno sorteado en el primer grupo.

Para ganar el premio mayor, debe acertar los seis números. Si aciertas los cinco primeros pero no la bola Mega, obtienes $1 millón. Hay premios más pequeños para partidos menores.

Dejo fuera de esta discusión una opción de "multiplicador" que cuesta un dólar extra y le da mejores pagos de los premios menores.

Los pequeños premios son fijos. El premio mayor no lo es. Comienza pequeño y crece cada vez que hay un sorteo sin ganador del premio mayor.

Al final del sorteo del 26 de julio, el bote era de $830 millones. Los operadores de lotería estiman que se venderán un poco más de 415 millones de boletos para el sorteo del 27 de julio, por $831 millones en ventas brutas. Una parte del 32.5% de eso, o $270 millones, va al bote. Eso produciría un bote el viernes por la noche de $ 1.1 mil millones. Eso es antes del descuento para un pago inmediato.

No ore por un frenesí de compras de último día que haga que el premio mayor sea mayor que la estimación oficial. También aumentaría el riesgo de que otros ganadores aprovechen su dinero. El efecto neto de la venta de boletos en este punto es reducir el valor de cada boleto.

Aquí está mi cálculo de lo que vale un boleto:

Quizás se pregunte de dónde provienen algunos de estos números.

Para obtener las probabilidades de ganar un premio mayor, comience multiplicando esta cantidad:

70x69x68x67x66,

que es el número de formas de sacar cinco bolas de una urna de 70 bolas, sin reposición, y luego dividir por esta cantidad:

5x4x3x2,

que es el número de formas de secuenciar cinco objetos (recuerde, a la lotería no le importa el orden).

Cuando hayas terminado, multiplícalo por 25, porque solo tienes una probabilidad de 1 en 25 de clavar la bola Mega.

Resultado: 1 chance en 302,575,350 de ganar. O, dicho de otro modo, cuotas de 302,575,349 a 1 en contra.

Una coincidencia de cuatro de los números principales es 325 veces más probable. Eso es porque hay cinco números diferentes para equivocarse y, para cada uno, 65 números incorrectos diferentes.

En cuanto a compartir, eso se vuelve un poco complicado. Necesitas calcular un factor de reparto. Agregue la probabilidad de que no haya otros ganadores... a la mitad de la probabilidad de que haya otro... a 1/3 de la probabilidad de que haya otros dos... y así sucesivamente.

Omitiré los detalles, pero tenga en cuenta que la primera de estas probabilidades (que ninguno de los otros 415 millones de boletos sea un ganador del premio mayor) se aproxima mucho a e^-R, donde e es un número que se suponía que aprendería en matemáticas. clase y R es la relación de 415 millones a 302.5 millones.

¿Qué hay de evitar la factura de impuestos? Eso es difícil de hacer con los premios más grandes. Para los pagos pequeños, puede aprovechar la deducción fiscal por pérdidas de juego. Si usted es un jugador regular y conserva sus talones de boletos perdedores, es posible que tenga suficiente para cancelar una ganancia de $500. Sin embargo, la deducción se limita a la cantidad de ganancias que usted declara y solo pueden reclamarla las personas que detallan las deducciones.

En términos generales, para obtener un beneficio de detallar, debe ser rico. Para ser un jugador regular de lotería, debes ser estúpido.